د ارستو د څرخ پاراډوکس

د ويکيپېډيا، وړیا پوهنغونډ له خوا


د ارستو څرخ قياس یو پاراډکس یا ستونزه ده چې په یوناني کار میکانیکا کې څرګندیږي ، په دودیز ډول ارستو ته منسوب شوی. [۱] دا په لاندې ډول بیانوي: یو څرخ په دوه اړخیزه فضا کې د دوه حلقو په توګه ښودل شوی. د هغې لوی، بهرنۍ دایره د افقي سطحې سره تنګسي ده (د مثال په توګه یو سړک چې دا په لاره اچول کیږي)، پداسې حال کې چې کوچنۍ، داخلي برخه ورته مرکز لري او په کلکه سره لوی سره نښلول کیږي. (کوچنۍ دایره کیدای شي د ټایر مالا وي، هغه رم چې په هغې کې ایښودل شوی وي، یا محور وي. ) فرض کړئ چې لویه دایره پرته له دې چې د یو بشپړ انقلاب لپاره له مینځه ځي (یا چپه شي)، د دواړو حلقو د احاطې لخوا لیږدول شوي فاصلې یو شان دي. هغه فاصله چې د لویې دایرې لخوا سفر کیږي د هغې د فریم سره مساوي وي، مګر د کوچنۍ لپاره دا د هغې د فریم څخه لوی دی، په دې توګه یو پاراډکس رامینځته کوي.

د ارستو څرخ. هغه فاصلې چې د دواړو حلقو د احاطې د حوالې ټکي لخوا لیږدول شوي - د نیلي او سور ډش شوي لینونو لخوا ښودل شوي - یو شان دي.

پاراډکس یوازې په څرخونو پورې محدود نه دی: نور شیان چې په دوه ابعادو کې ښودل شوي ورته چلند ښیې لکه د ټیپ رول ، یا یو عادي ګردي بوتل یا جار چې د هغې په اړخ کې اچول شوی وي (کوچنۍ دایره به د جار خوله یا غاړه وي یا بوتل).

د ستونزې په بدیل نسخه کې، کوچنۍ دایره، د لوی په پرتله، د افقی سطح سره اړیکه لري. په مثالونو کې د اورګاډي یو عادي څرخ شامل دی، کوم چې فلینج لري، یا یو باربل چې په بنچ کې ځړول کیږي. امریکایی ښوونکی او فیلسوف اسرایل ډرابکین دا قضیه د پاراډکس II نسخه بللې، [۱] او ورته، مګر ناڅرګند، تحلیل پلي کیږي.

د پاراډوکس تاریخ[سمول]

په لرغونتوب کې، د څرخ ستونزه په ارستو میخانیکا ، او همدارنګه د الکساندریا د هیرو میخانیکا کې بیان شوې وه. [۱] په پخوانیو کې دا د "24 ستونزه" په توګه ښکاري، چیرې چې د څرخ توضیح په لاندې ډول ورکړل شوی:

د دې لپاره اجازه راکړئ چې یوه لویه دایره وي ΔZΓ یو کوچنی EHB، او A د دواړو په مرکز کې؛ اجازه راکړئ ZI هغه کرښه وي چې لوی یې پخپله خلاصوي، او HK هغه چې کوچنی یې پخپله خلاصوي، د ZΛ سره مساوي. کله چې زه کوچنۍ دایره حرکت کوم، زه ورته مرکز حرکت کوم، هغه A دی؛ اجازه راکړئ چې لوی یې ورسره وصل شي. کله چې AB د HK سره عمودی شي، په ورته وخت کې AΓ د ZΛ سره عمودی شي، نو دا به تل یو مساوي فاصله بشپړه کړي، یعنې د HB فریم لپاره HK، او ZΛ د ZΓ لپاره. که چیرې ربع یو مساوي فاصله راوباسي، نو دا روښانه ده چې ټوله دایره به د ټولې دایرې سره مساوي فاصله وتړي نو کله چې BH کرښه K ته راشي، د ZΓ فریم به ZΛ وي، او ټوله دایره به خلاص شي. په ورته ډول، کله چې زه لوی دایره حرکت کوم، کوچنۍ دایره ورته مناسب وي، د دوی مرکز یو شان وي، AB به په عمودي او ښي زاویو کې د AΓ سره یوځای وي، وروستی یې ZI ته، پخوانی یې HΘ ته. په دې توګه، کله چې یو به د HΘ سره مساوي یوه کرښه بشپړه کړي، او بله یې ZI ته، او ZA بیا ZΛ او HA ته HK ته عمودي شي، نو دا به د Θ او I په پیل کې وي [۲]

بیا ستونزه داسې ویل کیږي:

اوس له دې چې د وړو لپاره د لوی مخه نه ده نیول شوې، نو دا [لوی] د یوې مودې لپاره په یوه نقطه کې پاتې کیږي، او دا چې کوچنی په هیڅ ځای کې نه تیریږي، نو دا عجيبه ده چې لوی په لاره تیریږي. د کوچني سره مساوي، او بیا دا چې کوچنی د لوی سره مساوي لاره تیریږي. برسېره پردې، دا د پام وړ ده چې که څه هم په هر حالت کې یوازې یو حرکت شتون لري، مرکز چې په یوه حالت کې حرکت کوي خورا لوی فاصله لري او په بل کې لږ واټن. [۱]

په ساینسي انقلاب کې[سمول]

ریاضي پوه جیرولامو کارډانو په خپل 1570 Opus novum de proportionibus numerorum کې د څرخ د ستونزې په اړه بحث کوي، [۳] د حرکت په شرایطو کې د دې تحلیل اټکل سره مسله اخلي. [۱] مرسین په خپل 1623 Quaestiones Celeberrimae Genesim کې په دې اړه نور بحث وکړ، [۴] چیرې چې هغه وړاندیز کوي چې ستونزه د دوو حلقو د پراختیا او انقباض پروسې له لارې تحلیل کیدی شي. خو مرسین له خپلې پوهې ناخوښه پاتې شو، لیکلي یې دي:

په حقیقت کې زه هیڅکله پدې توانیدلی نه یم چې کشف کړم، او زه فکر نه کوم چې بل څوک دې موندلی وي چې آیا کوچنۍ دایره دوه ځله ورته ټکي ته ننوځي، یا د کود او سلیډنګ په واسطه پرمخ ځي. [۱]

پاراډکس د مسدس سره انځور شوی: داخلي مسدس "کود" خپل نوي موقعیت ته
ګالیلیو په خپلو دوو نویو علومو کې د څرخ ستونزه د یو ځانګړي ډول اتومیزم د استدلال لپاره کاروي. هغه خپل تحلیل د یوې جوړې متمرکز هیکساګون په پام کې نیولو سره پیل کوي، لکه څنګه چې د حلقو په مقابل کې. په سطحه د دې مسدس "رول" په تصور کې، ګالیلیو په ګوته کوي چې داخلي مسدس په نوي مخ باندې د هر بهرني رول سره لږ ځای "ټپ کوي". [۵] هغه بیا تصور کوي چې حد ته به څه پیښ شي ځکه چې په پولیګون کې د مخونو شمیر خورا لوی کیږي ، او وموندله چې هغه کوچنی ځای چې د داخلي پولیګون لخوا "ټپ شوی" وي کوچنی او کوچنی کیږي. هغه لیکي:

له همدې امله یو لوی پولیګون چې زر اړخونه لري تیریږي او مستقیم کرښه اندازه کوي چې د هغې سره مساوي مساوي وي، پداسې حال کې چې کوچنی یو نږدې مساوي کرښه تیریږي، مګر یو په مداخله سره د زرګونو کوچنیو ذراتو څخه جوړ شوی چې د هغې د زرګونو اړخونو سره مساوي وي. په زرهاو کوچني خالي ځایونه مداخله شوي - ځکه چې موږ کولی شو دا "باطل" ووایو د هغو زرو لیکو په تړاو چې د ګوزڼ اړخونو لخوا لمس شوي. [۵]

څرنګه چې یوه دایره یوازې هغه حد دی چې په پولیګون کې د مخونو شمیر لامحدود کیږي ، ګالیلیو وموندله چې د ارستو څرخ داسې مواد لري چې له لامحدود ځایونو یا "voids" څخه ډک شوي ، او دا چې "مخالف شوي خلاونه مقدار نه دي ، مګر په لامحدود ډول دي. ډیری". [۵] دا هغه دې نتیجې ته رسوي چې په اتومونو باور - په دې معنی چې ماده "د بې شمیره غیرقانوني اتومونو څخه جوړه شوې ده" - د پیښې تشریح کولو لپاره کافي ده. [۵] Gilles de Roberval (1602-1675) هم د دې تحلیل سره تړاو لري.

په 19 پېړۍ کې[سمول]

برنارډ بولزانو د لامحدود پاراډوکس (1851) کې د ارستو د څرخ په اړه بحث وکړ، یو کتاب چې د انفینیت د ریاضیاتو په اړه د جورج کانټور او ورپسې مفکرینو اغیزه وکړه. بولزانو مشاهده کړه چې د هر دوه ورته قوسونو د نقطو ترمنځ دوه اړخیزه شتون شتون لري، کوم چې د وړانګو په رسمولو سره پلي کیدی شي، یادونه کوي چې د دې ښکاره متضاد حقیقت تاریخ د ارستو تاریخ دی. [۱]

په شلمه پېړۍ کې[سمول]

د ریاضيکي غلطۍ او پاراډوکس لیکوال د نیم ډالر (په ترتیب سره د کوچنیو او لویو حلقو نمایندګي کوي) ته د ګنډل شوي ډیم څخه کار اخلي د دوی مرکزونه سره یو ځای شوي او دواړه په محور کې ټاکل شوي، د پاراډکس لپاره د نمونې په توګه. هغه لیکي:

دا د حل لاره ده، بیا، یا د هغې کلیدي. که څه هم تاسو محتاط یاست چې اجازه مه ورکوئ چې نیم ډالر په ټابلیټ کې تیر شي، د ډیم په پښو کې د کرښې برخې تعقیب کولو "پوائنټ" دواړه هر وخت څرخي او چپه کیږي. دا د میز ټاپ ته په درناوي سره ځړیږي. له هغه ځایه چې ډیم د میز سر ته لاس نه رسوي، تاسو د ټوټې کیدو په اړه نه ګورئ. که تاسو کولی شئ نیم ډالر د میز په اوږدو کې راوباسئ او په ورته وخت کې د لرګیو د بلاک په اوږدو کې ډیم (یا تر دې غوره محور) وګرځوئ ، تاسو واقعیا د ټوټې کیدو مشاهده کولی شئ. که تاسو کله هم کرب ته ډیر نږدې پارک کړی وي ، تاسو د خپل هب کیپ لخوا رامینځته شوی سکریچ لیدلی وي ځکه چې دا په کرب باندې چپه کیږي (او رول کوي) پداسې حال کې چې ستاسو ټایر یوازې په فرش باندې تیریږي. څومره چې کوچنۍ دایره د لویې دایرې په پرتله کوچنۍ وي، په هماغه اندازه کوچنۍ دایره سلبیږي. البته د دوو حلقو مرکز په هیڅ ډول نه ګرځي، نو دا په ټوله لار کې سلیډ کوي. [۶]

په بدیل سره، یو څوک کولی شي دا انګیرنه رد کړي چې کوچنۍ دایره د لوی حلقې څخه خپلواکه ده. ټایر د لوی حلقې په توګه تصور کړئ، او کوچنۍ دایره د ټایر د داخلي فریم په توګه تصور کړئ نه د رم په څیر. د داخلي حلقې حرکت په لوی دایره پورې اړه لري. په دې توګه له هرې نقطې څخه بل ته د هغې حرکت د دوی د تناسب د برعکس په کارولو سره محاسبه کیدی شي.

تحلیلونه او حلونه[سمول]

د ارستو د ویل پاراډوکس سی ایس ایس حرکت. څرخ دوه متمرکزې حلقې لري: بهرنۍ یې د داخلي شعاع دوه چنده لري او په ښکته لار کې تیریږي. دواړه حلقې او ټریکونه د مساوي اوږدوالي برخو سره په نښه شوي. داخلي دایره د "سلپ" لیدل کیږي -- مګر په لفظي توګه نه -- د هغې د تصور شوي لار په اړه. (انیمیشن)

پاراډکس دا دی چې کوچنۍ داخلي دایره 2π R حرکت کوي، د لوی بهرنۍ دایرې فریم د وړانګو R سره، د خپل محیط په پرتله. که داخلي دایره په جلا توګه وګرځول شي، نو دا به د 2π r حرکت وکړي، د خپل فریم سره د ریډیس r سره. داخلي دایره جلا نه ده مګر په کلکه له لوی سره وصل ده. نو 2π r یو سور هیرینګ دی. د داخلي حلقې مرکز او وړانګې دواړه اړونده دي، مګر د هغې فریم نه دی.

لومړی حل[سمول]

که چیرې کوچنۍ دایره په لوی (کیس I) پورې اړه ولري، د لوی حلقې حرکت کوچنۍ دایره مجبوروي چې د لوی فریم څخه تیر شي. که چیرې لویه دایره په کوچنۍ یوه (قضیه II) پورې اړه ولري، نو د کوچنۍ دایرې حرکت لوی دایره دې ته اړوي چې د کوچنۍ دایرې فریم څخه تیر شي. دا ترټولو ساده حل دی.

دوهم حل[سمول]

دایرې د یو انقلاب څخه مخکې او وروسته، د مرکز، Pb، او Ps حرکتونه ښیي، د Pb او Ps سره د دوی د حلقو په سر کې پیل او پای ته رسیږي. شنه ډیش کرښه د مرکز حرکت دی. د نیلي ډش وکر د Pb حرکت ښیې. د سور ډش وکر د Ps حرکت ښیې. د Ps لاره په واضح ډول د Pb څخه لنډه ده. Ps مرکز ته نږدې دی، لنډ، ډیر مستقیم، او شنه کرښې ته نږدې د هغې لاره ده.

دا حل د پیل څخه پای ته رسیدو ته لیږد په پام کې نیسي. اجازه راکړئ چې Pb په لویه دایره کې نقطه وي او Ps په کوچنۍ دایره کې نقطه وي، دواړه په ورته وړانګو کې. د اسانتیا لپاره، فرض کړئ چې دوی دواړه مستقیم د مرکز لاندې دي، د ساعت د دواړو لاسونو سره ورته دي چې شپږ ته اشاره کوي. Pb او Ps دواړه په سایکلایډ لاره کې سفر کوي ځکه چې دوی یو انقلاب سره یوځای کوي. [۷]

پداسې حال کې چې هر یو له پیل څخه تر پایه پورې په افقی ډول 2π R سفر کوي، د Ps سایکلایډ لاره د Pb په پرتله لنډه او ډیر اغیزمنه ده. Pb د مرکز له لارې څخه ډیر پورته او لاندې سفر کوي - یوازینی مستقیم - د Ps په پرتله.

که Pb او Ps د دوی په اړونده حلقو کې بل چیرې وي، منحل شوي لارې به ورته اوږدوالی وي. لنډیز کول، کوچنۍ دایره په افقی ډول 2π R حرکت کوي ځکه چې په کوچنۍ دایره کې کومه نقطه لنډ سفر کوي، او په دې توګه د لویې دایرې د هرې نقطې په پرتله ډیر مستقیم لاره.

دریم حل[سمول]

دا حل یوازې د پیل او پای ځایونه پرتله کوي. لویه دایره او کوچنۍ دایره یو شان مرکز لري. که چیرې ویل شوي مرکز حرکت وکړي، دواړه حلقې ورته فاصله حرکت کوي، کوم چې د ژباړې اړین ملکیت دی او په تجربه کې د 2π R سره مساوي دی. همدارنګه، په دواړو حلقو کې هر بل ټکی د یو انقلاب څخه مخکې او وروسته د مرکز په پرتله ورته موقعیت لري (یا د انقلابونو کوم بل بشپړ شمیره). د یو څرخ لپاره چې څو متمرکز داخلي حلقې لري، د هرې حلقې ژباړې حرکت یو شان دی ځکه چې ټول یو ورته مرکز لري. دا نور هم ثابتوي چې د هرې داخلي حلقې فریم په بشپړ ډول غیر مناسب دی (۱ قضیه).

هم وګوره[سمول]

  • ټراکوایډ
  • Brachistochrone وکر

سرچينې[سمول]

  1. ۱٫۰ ۱٫۱ ۱٫۲ ۱٫۳ ۱٫۴ ۱٫۵ ۱٫۶ Drabkin, Israel E. (1950). "Aristotle's Wheel: Notes on the History of a Paradox". Osiris. 9: 162–198. doi:10.1086/368528. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  2. Leeuwen, Joyce van (2016-03-17). The Aristotelian Mechanics: Text and Diagrams (په انګلیسي ژبه کي). Springer. د کتاب نړيواله کره شمېره 9783319259253. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. Cardano, Geronimo (1570). Opus novum de proportionibus numerorum ...: Praeterea Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ... Item De regula liber ... (په انګلیسي ژبه کي). الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. Mersenne, Marin (1623). Quaestiones celeberrimae in Genesim ... (په لاطینی ژبه کي). الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. ۵٫۰ ۵٫۱ ۵٫۲ ۵٫۳ Galilei, Galileo; Drake, Stillman (2000). Two New Sciences: Including Centers of Gravity & Force of Percussion (په انګلیسي ژبه کي). Wall & Emerson. د کتاب نړيواله کره شمېره 9780921332503. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  6. Bunch, Bryan H. (1982). Mathematical Fallacies and Paradoxes. Van Nostrand Reinhold. د کتاب پاڼي 3–9. د کتاب نړيواله کره شمېره 0-442-24905-5. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  7. The two paths are pictured here: http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html and http://mathworld.wolfram.com/CurtateCycloid.html

مخ پر وړاندی لوستل[سمول]