ماډل تيوري

په رياضيکي منطق کې د نمونې يا ماډل نظريه، د رسمي نظرياتو (په يوه رسمي ژبه کې د جملو يوه مجموعه، چې د يوه رياضيکي ساختمان په اړه ویناوې څرګندوي) او د هغوی د نمونو (هغه ساختمانونه چې نظمي ویناوې په پام کې نيول کېږي) تر منځ د اړيکې څېړنه ده. پلټل شوي اړخونه، د يوې نظريې د نمونو عدد او اندازه، د بېلابېلو نمونو يو له  بل سره اړيکه او په خپله له رسمي ژبې سره د دوی متقابل عمل شاملوي. د نمونې نظريې پوهان، په خاص ډول هغه سيټونه هم پلټي، چې د يوې نظريې په يوه نمونه کې تعريفېدلی شي او هم د دې ډول د تعريف وړ سيټونو يو له بل سره اړيکه هم پلټي. د يوه بېل روش يا طريقې په توګه د نمونې نظريه الفرد تارسکي (Alfred Tarski) ته ورګرځي. نوموړي په لومړي ځل ،«د نمونو نظريه» اصطلاح، په ۱۹۵۴ ز کې په يوه نشريه کې وکاروله. له ۱۹۷۰ زلسيزو راهيسې ذکر شوې موضوع، د ساهارون شيلاح (Saharon Shelah) «د ټينګښت نظريې» په واسطه، په غوڅه توګه رامنځ ته شوې ده.

د رياضيکي منطق له نورو برخو، لکه: د ثبوت نظريې سره په پرتلنې، د نمونې نظريه زياتره له رسمي سختۍ سره لږه اړيکه لري او د کلاسيک رياضياتو په اړه په ارواح کې نږدې ده. دې نظريې دا تبصره هڅولې ده: «که چېرې د ثبوت نظريه په سپيچلې دود پورې اړوند وي، نود نمونې نظريه مقدساتو ته د سپکاوي په اړه ده». الجبري او (diophantine geometry) هندسې په اړه د نمونې نظريې کاريالون،ه دا نژدې والی کلاسيکي رياضیاتو ته منعکس کوي، لکه څرنګه چې دوی زياتره د الجبري او نمونې نظرياتي د پايلو او تخنيکونو يوه ټولګه شاملوي.

د نمونې په نظريه کې تر ټولو پراخ علمي سازمان، د سمبوليک منطق لپاره ټولنه (Association for Symbolic Logic) ده.

بېلابېل ټينګار

اړوند ټينګار، د يوې نظريې د نمونو په يوې ټولګي باندې هغسې ځای پر ځای شوی دی، لکه څرنګه چې د ذکر شوې موضوع په تاريخچه کې د يوه تغیسير خوړلې نمونې په دننه کې د پېژند وړ سيټونو د يوې ټولګي مخنيوی کوي او دوه لوري، له ۱۹۷۳ او ۱۹۹۷ ز نه په ښه ډول، د اغېزناک خاصيت ټاکنې په واسطه خلاصه شوی دی.

منطق + طبيعي الجبر = د نمونې نظريه.

طبيعي الجبر په کې د رياضيکي ساختمانونو استازولي کوي او منطق په کې د منطقي نظرياتو لپاره؛ او

برخې – الجبري هندسه = د نمونې نظريه

منطقي فرمولونه، په کې د تعريف وړ سټونو په اړه او څه معادلې په کې د يوې برخې ډولونو ته دي.

که څه هم د نمونو د ټولګيو متقابله اغېزه او په دوی کې د تعريف وړ سيټونه، د نمونې نظريې په پرمختګ کې د دې نظريې د تاريخ په اوږدو کې مهم يا حياتي دي. د بېلګې په ډول: کله چې ثبات يا د ټينګښت نظريه، په يوه ورکړل شوي cardinality کې د نمونو د عددونو په واسطه، د نظرياتو د ډلبندۍ په موخه په اصلي ډول معرفي شو، د ثابتې نظريې، د تعريف وړ سيټونو په هندسه کې د پوهېدنې لپاره مهمه ثابته شوه.

څانګې

دا مخ د نامحدودو ساختمانونو په (finitary first order) نمونې نظريه باندې تمرکز کوي. د نمونې محدوده نظريه، (Finite model theory) چې په محدودو ساختمانونو باندې تمرکز کوي؛ په اغېزناک ډول له نامحدودو ساختمانو نه په څېړل شوو پوښتنو او کارول شوو تخنيکونو دواړو کې بېلېږي. د نمونې نظريه، په یو څه لوړ نظم منطق (higher-order logics) کې يا نامحدود منطق (infinitary logics) د هغې واقعيت په واسطه نفې کېږي، چې بشپړتيا او غلظت په عموم کې د دې منطقونو (logics) لپاره په پام کې نه نيول کېږي. که څه هم د څېړنې يوه ستره برخه په دې ډول منطقونو کې هم تر سره شوې ده.

د نمونې نظريه، په غير رسمي ډول لرغونې يا کلاسيک نمونې نظريې، ډلو او برخو ته عملي شوې. د نمونې نظريې او د هندسې نمونې نظريې باندې وېشل کېدلی شي. يو ورک يا له لاسه وتلی فرعې وېش يې د محاسبې وړ نمونې نظريه ده، مګر دا احتمالا (د بحث وړ موضوع په توګه) د منطق د يوې خپلواکه فرعې برخې په توګه کتل کېدلی شي.

د کلاسيک نمونې نظريې، د پخوانيو قضيو بېلګې د ګوډيل د بشپړتيا قضيه (Gödel's completeness theorem)، د (Löwenheim–Skolem) د مخ پورته او مخ ښکته قضيه، د واوغټ د دوه اصلي نظريه (Vaught's two-cardinal theorem)، د سکاټ د ايزومورفيزم قضيه (Scott's isomorphism theorem)، د له منځه تلنې ډولونو قضيه (omitting types theorem) او د (Ryll-Nardzewski theorem) قضيه شاملېږي. په برخو باندې تطبيق شوې نمونې نظريې نه د لومړنيو پايلو بېلګې دريښتيني نږدې برخو لپاره د ټارسکي (Tarski) د (elimination of quantifiers)، په کاذبو يا ظاهري محدودو برخو (pseudo-finite fields) باندې د (Ax) قضيه او د روبينسن (Robinson) د نامعياري ارزونې پرمختګ يادولی شو. د کلاسيکي نمونې نظريې، په بشپړتيا (تکامل) کې يو مهم پړاو د ثبات د نظريې (د شمار په ناوړو قطعي نظريو باندې د مورلي د قضيې (Morley's theorem) په واسطه او د شيلا (Shelah) د ډلبندۍ په پروګرام سره) په زېږېدلو سره واقع شو، چې د خپلواکۍ يوه احصائيه يې رامنځته او د نظريو په واسطه منل شوو ترکيبي حالتونو پر بنسټ يې ترتيب کړل او بیا یې ووېشل.

د تېرو څو لسيزو په بهیرکې، د تطبيقي نمونې نظريه په مکرر ډول د زياتې سوچه ثبات نظريې سره ترکيب شوې ده. د دې ترکيب پايلې ته په دې مقاله کې د هندسي نمونې نظريه وايي (چې د o-minimality د شاملولو په موخه اخيستل شوې ده، لکه: د لرغوني هندسي ثبات نظريه هم په همدې ډول په پام کې نيول شوې ده). له هندسي نمونې نظريې نه، د ثبوت يوه بېلګه د وظيفې برخو لپاره د هروشوويسکي (Hrushovski) د (Mordell–Lang) اټکل ثبوت دی. د هندسي نمونې نظريې هيله، په بېلابېلو رياضيکي ساختمانونو کې د تعريف وړ سيټونو په يوه مفصله څېړنه باندې په بېړۍ کې د سپرېدلو (embarking) په واسطه، د رياضياتو د يوې جغرافيې برابرول دي، چې د خالصې نمونې نظريې کې د بنسټيزو وسايلو په واسطه يې ملاتړ شوی دی.

د لومړي ترتيب نمونې نظريې بنسټيز نظريات

د لومړي ترتيب فرمول د اتومي فرمولې، لکه: (R(f(x,y),z) or y = x + 1) نه د (Boolean connectives) .... او د ....... او ....... quantifiers وروستاړو په معنا سره رامنځته شوی دی. يوه جمله يوه فرموله ده، چې د هر متغير هره واقع کېدنه په کې د ځواب ويونکي quantifier په ساحه کې ده. د فرمولونو لپاره بېلګې ((φ (or φ(x) دي، چې هغه واقعيت په نښه کوي، چې په زيات مواردو کې x په φ کې يو نامحدود متغير دی) او ψ په لاندې ډول تعريف شو:

${\varphi \;=\;\forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \exists w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,}$

$\psi \;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\neq 1.$

(په ياد ولرئ چې د مساوات نښه دلته دوه معناوې لري). په شعوري ډول رياضيکي معنا ته د دې فرمولې تعبيرول روښانه دي. د σ_smr په ساختمان کې ....... د طبيعي عددونو، د بېلګې په ډول: يو n عنصر د φ فرمول قانع کوي؛ که چېرې او يوازې، که چېرې n يو لومړنی عدد وي. د ψ فرمول په ورته ډول د بيا توليد نه وړتيا تعريفوي. ټارسکي (Tarski) د قناعت د اړيکې ..... لپاره يو سخت يا ناڅرګند تعريف وړاندې کړ، چې ځيني وختونه يې د ټارسکي د واقعيت تعريف هم بولي، چې يو څوک يې په اسانۍ سره په لاندې ډول ثابتوي چې:

N ⊨ φ ( n ) ⟺ is a prime number.

N ⊨ ψ ( n ) ⟺ is irreducible.

د جملو يو T سيټ ته د لومړي ترتيب (first-order) نظريه وايي. يوه نظريه هغه وخت د منلو وړ ده، چې .... نمونه ولري. د بېلګې په ډول: د (يو مناسب لاسليک) ساختمان چې د T په سيټ کې ټولې جملې قانع کوي. بشپړه نظريه هغه ده چې، هره جمله يا د هغې منفي رانغاړي. د ټولو جملو يوه بشپړه نظريه، چې د ساختمان په واسطه د منلو وړ شوې وي، د همغې ساختمان نظريه ورته وايي.

د ګوډيل د بشپړتيا قضيه (د نوموړي د نابشپړتيا له قضيې سره بايد مشوش نه شو) وايي چې: يوه نظريه يوه نمونه لري؛ که چېرې او يوازې که چېرې دا نظريه استواره وي، د بېلګې په ډول: د نظريې په واسطه هېڅ مغايرت نه وي ثابت شوی. له همدې امله د نمونې نظريې خاوندان زياتره وختونه د استوار (consistent) ويیکی(لغت) د قناعت وړ (satisfiable) لپاره مترادف کاروي.