ریاضیکي ثبوت

ریاضیکي ثبوت د ریاضیاتي افادو لپاره یو منطقي استدلال دی، چې د راوړل شوې فرضیه په بنسټ په منطقي توګه د پایلې صحت بیانوي. دا ډول استدلال کېدای شي د نورو پخوانیو وړاندې شوو افادو، لکه قضیو، څخه کار واخلي، مګر د اصولو په بنسټ هر ثبوت، یوازې د ځانګړو بنسټیزو یا اصلي فرضیو چې د اساسي قضیو په نوم یادېږي، او همدا رنګه د استنباطي قواعدو په کارولو سره، ترتیب کېږي. ثبوتونه د جامع تعلیلي (له جز څخه کل ته) استدلال بېلګې دي چې منطقي یقین رامنځ ته کوي، ترڅو له د تجربې استدلال یا غیر جامع تعلیلی استدلال څخه چې "مناسبه تمه" رامنځ ته کوي څخه توپیر شي. په ډېری وړاندې شوو قضیو کې چې افاده شتون لري د ثبوت لپاره چې باید وښيي چې افاده په ټولو ممکنه قضیو کې حقیقت لري، بسنه نه کوي. یوه غیر ثابته قضیه چې حقیقت انګېرل کېږي د حدس، یا فرضیې په نوم یادېږي په هغه صورت کې چې په مکرر ډول د نورو ریاضيکي کارونو لپاره د فرضیې په توګه وکارول شي. ^[۱]^[۲]^[۳]

ثبوتونه له ریاضیکي سمبولونو څخه، همدارنګه له طبیعي ژبې څخه چې یوڅه ابهام ته اجازه ورکوي، په ګټه له منطق څخه کار اخلي. په ډېری ریاضیکي آثارو کې، ثبوتونه د ډېر غیر رسمي منطق په اصطلاحاتو کې لیکل کېږي. خالص رسمي ثبوتونه چې د طبیعي ژبې له ښکېلتیا څخه پرته په مکمل ډول په سمبولیکه ژبه لیکل کېږي، د ثبوت په تیوري کې په نظر کې نیول کېږي. د رسمي او غیر رسمي ثبوتونو تر منځ توپیر په اوسنیو او تاریخي ریاضيکي آثارو کې، په ریاضي کې متشابه تجربه پالنه، فولکلور ریاضي، د ریاضیکي ټولنې په اصلي مسیرکې یا په نورو دودونو کې له ډېر آزمایښت سره مخ شوی. د ریاضي فلسفه په تبوتونو کې د ژبې له ونډې او منطق او د ژبې په توګه له ریاضي سره تړاو لري

تاریخچه او او د لغت ریښه پېژندنه

د Proof یا ثبوت کلمه د لاتینې ژبې له probare کلمې څخه اخستل شوې چې د (آزمایښت) په معنی ده. له دې سره انګلیسي اصطلاحات "probe"، "probation" او "probability"، هسپانوي اصطلاحات probar (چې د بوی، ذایقې، لمس کولو، یا آزمایښت په معني دي)، اېټالوي provare (چې د هڅې په معنې ده) او جرمني probieren (چې د هڅې په معنې ده) تړلي معاصر اصطلاحات دي. د دې حقوقي اصطلاح "probity" د صلاحیت یا اعتبار، یا د یو معتبر قانوني شخص له خوا د شهادت د ځواک چې حقایق په ډاکه کوي، په معنی ده. ^[۴]^[۵]

عقلاني استدلالونه چې د نوښتګرو وسایلو لکه انځورونو او اشکالو څخه ګټه اخلي له ریاضیکي ثبوت څخه مخکښ دي. په ډېر احتمال سره د پایلې د ښودلو مفکوره لومړی په هندسه کې را منځ ته شوه، چې د ځمکې د اندازه کولو له عملي موضوعاتو څخه سرچینه اخلي. په اصل کې د ریاضیکي د ثبوت پراختیا د لرغونی یونان د ریاضیاتو د علم پایله ده چې یوه لویه لاسته راوړنه ګڼل کېږي. تالیس (۶۲۴ – ۵۶۴ کاله مخکې له میلاد نه) او د چایوس اوسېدونکی هایپوکراتس (۴۷۰ – ۴۱۰ کاله مخکې له میلاد نه) په هندسه کې د قضایاوو ځینې لومړني مشهور ثبوتونه وړاندې کړل. اودوکسوس (۴۰۸ – ۳۵۵ کاله مخکې له میلاد نه) او تیا ایتیتوس (۴۱۷ – ۳۶۹ کاله مخکې له میلاد نه) قضیې ترتیب کړې خو هغوی یې ثبوت نه کړې. ارسطو (۳۸۴ – ۳۲۲ کاله مخکې له میلاد نه) وویل چې تعریفونه باید په هغو مفاهیمو تشریح شي چې اصطلاحات یې له مخه د پوهېدو وړ وي. ^[۶]^[۷]^[۸]

ریاضیکي ثبوت د اقلیدیس (۳۰۰ کاله مخکې له میلاد نه) له خوا انقلابي بڼه و موندله چې قضیوي سیستم یې معرفي کړ چې اوس هم کارول کېږي. دا سیستم په نه تعریف شوو اصطلاحاتو او قضیو، د نه تعریف شوو اصطلاحاتو اړوند قضیو چې په ذاتي ډول حقیقي ګڼل کېږي (چې د یوناني "axios" څخه اخستل شوې او د یو با ارزښته شي په معنی دی) سره پیل کېږي. په دې بنسټ، دا تګلاره د تعلیلي منطق په بنسټ قضیې ثابتوي. د اقلیدیس کتاب، چې د عناصرو په نوم دی، د شلمې پیړۍ تر نیمایي پورې د هر هغه چا لخوا لوستل کېده چې په لویدیځ کې تعلیم یافته ګڼل کېدل. د هندسې له قضیو سربیره، لکه د فیثاغورث قضیه، د عناصرو کتاب د اعدادو نظریه، همدارنګه د هغه ثبوت په ګډون چې دوهم مربع جذر غیر منطقی دی او دا ثبوت چې په لایتناهی ډول ډیری اولیه اعداد شتون لري، هم تر پوښښ لاندې راولي. ^[۹]

د منځنیو پیړیو په اسلامي ملکونو کې په ریاضیاتو کې نور پرمختګونه هم را منځ ته شول. لکه څرنګه چې پخواني یوناني ثبوتونه ډېری هندسي اشکال وو، د حساب او الجبرا پراختیا د مسلمانو ریاضي پوهانو لخوا نور عمومي ثبوتونو ته اجازه ورکړه چې په هندسي درک پورې یې تړاو نه درلود. عراقي ریاضي پوه الهاشمي په لسمه پیړۍ کې د عددونو سره کار کاوه چې ورته "خطوط" ویل کېدل، خو د هندسي اشکالو د اندازه کولو په توګه و نه ګڼل شول، ترڅو د ضرب، تقسیم، او داسې نورو... او همدارنه د غیر ناطق اعدادو د شتون په اړه الجبري قضیې ثبوت کړي. په الفخری کې (۱۰۰۰کال کې) د حسابي تصاعد لپاره له کل څخه جز ته ثبوت د الکراجی لخوا معرفي شو، چې هغه دا د پاسکال د مثلث د خواصو او د بینوم د قضیو د ثابتولو لپاره و کارولو. الهازین هم د غیر مستقیم اثبات تګلاره را منځ ته کړه، لکه څنګه چې د اقلیدیس د موازي قضیې د ثبوث لپاره لمړۍ هڅه وه. ^[۱۰]^[۱۱]

د ثبوت عصري تیوري، ثبوتونه له کل څخه جز ته د تعریف شوو ډېټا جوړښتونو په توګه په نظر کې نیسي چې په هر مفهوم کې د قضیو د حقیقت لپاره کومه فرضیه اړینه نه ګني. دا د قضیو سیټ د بدېل په بنسټ، د بېلګې په توګه د موضوعه اصل د سیت تیوري او د غیر اقلیدیسي هندسې، د شهودي مفوهم لپاره موازي ریاضیکي تیورۍ ته اجازه ورکوي.

طبیعت او موخه

په عملي بڼه، ثبوت په طبیعي ژبه وړاندې کېږي او یو کره استدلال دی چې موخه یې یو مخاطب ته د یوې افادې د حقیقت په اړه قناعت ورکول دي. د کره معیار مطلق ندی او د تاریخ په اوږدو کې توپیر لري. د مخاطب په بنسټ، یو ثبوت کېدای شي په بېلابېلو ډولونو وړاندې شي. د دې لپاره چې د منلو وړ وي، ثبوت باید د کره والي ټولنیز معیارونه پوره کړي؛ یوه شخړه هغه وخت رد کېږي چې مبهم یا نیمګړی و ګڼل شي.

د ثبوت مفهوم د ریاضیکي منطق په ساحه کې رسمي بڼه خپله کړې ده. رسمي ثبوت د طبیعي ژبې پر ځای په رسمي ژبه کې وړاندې کېږي. رسمي ثبوت په رسمي ژبه کې د فورمولونو یوه لړۍ ده، چې په یوه فرضیه پیل کېږي، او هر وروستی فورمول د مخکني فورمول یوه منطقي پایله ده. دا تعریف د ثبوت مفهوم د مطالعې لپاره د منلو وړ ګرځوي. په حقیقت کې، د ثبوت د تیوري ساحه رسمي ثبوتونه او د هغوی ځانګړتیاوې تر څېړنې لاندې نیسي، ترټولو مشهور او حیرانوونکې یې دا ده چې نږدې ټول حقیقي سیسټمونه کولای شي ځینې ناڅرګند افادې رامنځ ته کړي چې په سیسټم کې د ثبوت وړ ندي. ^[۱۲]

د رسمي ثبوت د تعریف موخه دا ده چې د ثبوتونو مفهوم لکه څنګه چې د ریاضیاتو په تګلاره کې لیکل کېږي، تر پوښښ لاندې راولي. د دې تعریف صحت په هغه باور پورې اړه لري چې له اصولي اړخه یو خپور شوی ثبوت کولای شي په رسمي ثبوت بدل شي. اما، د اتومات ثبوت کوونکو له ساحې څخه بهر، په عمل کې دا کار په ندرت سره ترسره کېږي. یوه کلاسیکه پوښتنه په فلسفه کې شتون لري پوښتي چې آیا ریاضیکي ثبوتونه تحلیلي دي که ترکیبي. کانت، چې تحلیلي- ترکیبي توپیر یې وړاندې کړ، باور درلود چې ریاضيکي ثبوتونه ترکیبي دي، په داسې حال کې چې کوین د ۱۹۵۱ کال په خپل اثر "د تجربې پالې دوه توکمیز باورونه" کې استدلال وکړ چې دا ډول توپیر د منلو وړ نه دی.^[۱۳]

ثبوتونه د ریاضیکي ښکلا په بنسټ کیدای شي په زړه پورې وي. ریاضي پوه پاول ایردوس د ثبوتونو په تشریح کولو کې شهرت درلود چې هغه دا په ځانګړي ډول په زړه پورې و موندل لکه څنګه چې د "کتاب" څخه ترلاسه کېږي، چې یو فرضی ټوک دی چې د هرې فرضیې د ثبوت لپاره خورا ښکلې تګلارې لري. له کتاب څخه ثبوتونه چې په ۲۰۰۳ کال کې خپور شو، هغو ۳۲ ثبوتونو ته ته وقف شوی چې اډېتورانو یې خورا په زړه پورې ګنلي وو.

سرچينې او ياداښتونه

د صفر نښه

↑ Clapham, C. & Nicholson, J.N. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.
↑ Cupillari, Antonella (2005) [2001]. The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs (Third ed.). Academic Press. p. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.
↑ Gossett, Eric (July 2009). Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons. p. 86. ISBN 978-0470457931. Definition 3.1. Proof: An Informal Definition
↑ "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.
↑ Hacking, Ian (1984) [1975]. The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-31803-7.
↑ The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007
↑ Kneale, William; Kneale, Martha (May 1985) [1962]. The development of logic (New ed.). Oxford University Press. p. 3. ISBN 978-0-19-824773-9.
↑ Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (February 2015). "The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading". Archive ouverte HAL. بياځلي په October 20, 2019.
↑ Eves, Howard W. (January 1990) [1962]. An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) (6th ed.). Brooks/Cole. p. 141. ISBN 978-0030295584. No work, except The Bible, has been more widely used...
↑ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [260], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID 121416910
↑ Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, بياځلي په January 23, 2008
↑ Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6. See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."
↑ Quine, Willard Van Orman (1961). "Two Dogmas of Empiricism" (PDF). Universität Zürich — Theologische Fakultät. p. 12. بياځلي په October 20, 2019.

[1] Clapham, C. & Nicholson, J.N. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.

[nutsandbolts-2] Cupillari, Antonella (2005) [2001]. The Nuts and Bolts of Proofs: An Introduction to Mathematical Proofs (Third ed.). Academic Press. p. 3. ISBN 978-0-12-088509-1.

[3] Gossett, Eric (July 2009). Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons. p. 86. ISBN 978-0470457931. Definition 3.1. Proof: An Informal Definition

[4] "proof" New Shorter Oxford English Dictionary, 1993, OUP, Oxford.

[5] Hacking, Ian (1984) [1975]. The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-31803-7.

[Krantz-6] The History and Concept of Mathematical Proof, Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007

[7] Kneale, William; Kneale, Martha (May 1985) [1962]. The development of logic (New ed.). Oxford University Press. p. 3. ISBN 978-0-19-824773-9.

[8] Moutsios-Rentzos, Andreas; Spyrou, Panagiotis (February 2015). "The genesis of proof in ancient Greece The pedagogical implications of a Husserlian reading". Archive ouverte HAL. بياځلي په October 20, 2019.

[9] Eves, Howard W. (January 1990) [1962]. An Introduction to the History of Mathematics (Saunders Series) (6th ed.). Brooks/Cole. p. 141. ISBN 978-0030295584. No work, except The Bible, has been more widely used...

[10] Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, 500 (1): 253–77 [260], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID 121416910

[11] Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam, Rutgers University, بياځلي په January 23, 2008

[12] Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6. See in particular p. 3: "The study of Proof Theory is traditionally motivated by the problem of formalizing mathematical proofs; the original formulation of first-order logic by Frege [1879] was the first successful step in this direction."

[13] Quine, Willard Van Orman (1961). "Two Dogmas of Empiricism" (PDF). Universität Zürich — Theologische Fakultät. p. 12. بياځلي په October 20, 2019.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]

[۷]

[۸]

[۹]

[۱۰]

[۱۱]

[۱۲]

[۱۳]