د لومړي ترتیب منطق

د لومړي ترتیب منطق (First-order logic) – چې د محمولاتو منطق، مقداري منطق، او د لومړي ترتیب محمولاتو حساب په نوم هم پېژندل کېږي – د شکلي یا صوري یا رسمي سیستمونو یوه ټولګه ده چې په ریاضیاتو، فلسفه، ژبپوهنه، او کمپیوټر ساینس کې کارېږي. د لومړي ترتیب منطق د غیر منطقي څیزونو خلاف مقداري متغیرونه (quantified variables) کاروي، او هغه جملې پکې کارېږي چې متغیرونه ولري، نو په دې توګه د قضیو یا عباراتو پر ځای لکه دا چې "سقراط یو سړی دی"، یو څوک کولی شي داسې یې بیان کړي چې "یو x شته دی، هغه x سقراط دی او x یو سړی دی"، نو چېرې چې هغه "شته دی" دا یو مقدار ټاکونکی (quantifier) دی، او x یې یو متغیر دی. دا منطق له قضیوي یا د عباراتو له منطق څخه توپیر لري، کوم چې مقدار ټاکونکی یا اړیکې نه کاروي؛ په دې معنا، قضیوي منطق د لومړي ترتیب منطق بنسټ دی.^[۱]^[۲]

د یوې موضوع په اړه یوه تیوري معمولا د لومړي ترتیب منطق دی، چې ورسره یو ځای د بحث یوه مشخصه ساحه لري (په کوم کې چې مقداري متغیرونه وي)، په محدود ډول ګڼ توابع له هغې ساحې څخه د ځان لپاره لري، او ګڼ محمولات چې په هماغه ساحه کې تعریف شوي وي، او هم د بدهیاتو یوه ټولګه وي چې باور کېږي د هغو اړوند وجود لري. ځینې وختونه "تیوري" په ډېره شکلي معنا درک کېږي، کوم چې په لومړي ترتیب منطق کې یوازې د جملو یوه مجموعه ده.

د "لومړي ترتیب" صفت بیا د لومړي ترتیب منطق له لوړ ترتیب منطق څخه بېلوي او توپیروي، په کوم کې چې د استدلالونو په توګه محمولات یا توابع شته دي، یا په کوم کې چې د محمول مقدار ټاکونکي یا د تابع مقدار ټاکونکي یا هم دواړه اجازه لري. په لومړي ترتیب تیوریو کې، محمولات اکثرا له سیټونو یا مجموعو سره تړاو لري. د لوړ ترتیب په تفسیر شوو تیوریو کې بیا محمولات ممکن د سیټونو د سیټونو یا د مجموعو د مجموعو په توګه تفسیر شي.^[۳]

د لومړي ترتیب منطق لپاره ګڼ د قیاس یا استنباط سیستمونه شته دي چې هم سم دي (د مثال په توګه ټول ثابت بیانات په ټولو ماډلونو کې صدق کوي) او هم بشپړ دي (د بېلګې په توګه ټول بیانات چې په ټولو ماډلونو کې صدق کوي د اثبات وړ دي). که څه هم د منطقي پایلو اړیکه یوازې نیمه پرېکړه منونکې ده، خو په لومړي ترتیب منطق کې په اتومات ډول ثابتېدونکې قضیه کې ډېر پرمختګ شوی دی. د لومړي ترتیب منطق همدا راز ګڼې مېتالاجیکي یا فرامنطقي قضیې براورده کوي، چې له کبله یې د ثبوت په تیورۍ کې د تحلیل لپاره تابع او د تغییر وړ ګرځي، لکه د لوېنهېم-سکولم قضیه او د غلظت قضیه.

د لومړي ترتیب منطق پر بدیهیاتو د ریاضیاتو د فورمولایزېشن لپاره معیار دی، او د ریاضیاتو په بنسټونو کې مطالعه کېږي. د پیانو حسابیات او د زرمیلو–فرانکل د مجموعې تیوري په ترتیب سره په لومړي ترتیب منطق کې د شمېر د تیورۍ او د سیټ یا مجموعې د تیورۍ اصول جوړونه یا بدهیات دي. که څه هم، هېڅ لومړی ترتیب تیوري بیا دا ځواک نه لري چې په یوازې سر یو جوړښت په نامحدود یا لایتناهي ډول سره تشریح کړي، لکه طبیعي اعداد یا حقیقي کرښه. د بدیهیاتو سیستمونه چې دا دوه جوړښتونه (یعنې د بدیهیاتو ډلبندي شوي سیستمونه) په بشپړ ډول تشریح کړي، په لا ډېرو پیاوړو منطقونو کې ترلاسه کېدای شي لکه د دویم ترتیب منطق.

د لومړي ترتیب منطق اساسات په خپلواکه توګه د ګوتلوب فریګه او چارلز سنډرز پیرس لخوا رامنځته شوي. د لومړي ترتیب منطق د تاریخچې لپاره او دا چې څه ډول یې پر رسمي منطق سلطه ترلاسه کړه، وګورئ د خوزه فریرو (José Ferreirós) ۲۰۰۱ اثر.^[۴]

پېژندنه

په داسې حال کې چې قضیوي یا د عباراتو منطق له ساده بیاني قضایاوو سره سروکار لري، د لومړي ترتیب منطق محمولات او مقدار ټاکنه هم تر پوښښ لاندې راولي.

یو محمول یا مسند د بحث په ساحه کې یو وجود یا وجودونه د داخلېدونکو (input) په توګه اخلي حال دا چې محصول (outputs) به یا صحیح یا غلط وي. دوه جملې په پام کې ونیسئ "سقراط یو فیلسوف دی" او "افلاطون یو فیلسوف دی". په قضیوي یا د عباراتو په منطق کې دا جملې د ناتړلو یا غیرمرتبطو جملو په توګه ګڼل کېږي، او ښایي د بېلګې په توګه، د p او q په څېر متغیرونو په واسطه وپېژندل شي یا وښودل شي. د "یو فیلسوف دی" محمول یا مسند په دواړو جملو کې شته دی، کوم چې د " الف-a یو فیلسوف دی" ګډ جوړښت لري. د الف-a متغیر په لومړۍ جمله کې د "سقراط" په توګه او په دویمه جمله کې د "افلاطون" په توګه مثال ورکړل شوی دی. په داسې حال کې چې د لومړي ترتیب منطق د محمولاتو کارولو شونتیا لري، لکه "یو فیلسوف دی" په دې مثال کې، خو قضیوي یا د عباراتو منطق بیا دا شونتیا نه لري.^[۵]

د محمولاتو ترمنځ اړیکې د منطقي رابطونو یا پیوندونو په کارولو سره بیانېدای شي. د مثال په توګه، د لومړي ترتیب دا فورمول په پام کې ونیسئ "که الف-a یو فیلسوف وي، نو الف-a یو عالم دی". دا فورمول یو مشروط بیان دی چې "الف-a یو فیلسوف دی" د هغه د فرضیې په توګه، او "الف- aیو عالم دی" د هغه د پایلې په توګه مطرح دي. د دغه فورمول صدق یا سموالی په دې پورې اړه لري چې کوم څیز په الف-a سره ښودل کېږي، او هم د محمولاتو په تفسیرونو "یو فیلسوف دی" او "یو عالم دی" پورې اړه لري.

مقدار ټاکونکي په یوه فورمول کې پر متغیرونو باندې تطبیقېدای شي. په مخکېني فورمول کې د الف- aمتغیر په عمومي توګه اندازه کېدای شي، د بېلګې په توګه، د لومړي ترتیب له دې جملې سره چې "د هر الف-a لپاره، که الف-a یو فیلسوف وي، نو الف-a یو عالم دی". په دې جمله کې د "هر لپاره" عمومي مقدار ټاکونکی دا نظر بیانوي چې دا ادعا "که الف- aیو فیلسوف وي، نو الف-a یو عالم دی" د الف- aد ټولو انتخابونو لپاره صدق کوي.

د دې جملې منفي بڼه "د هر الف-a لپاره، که الف-a یو فیلسوف وي، نو الف-a یو عالم دی" په منطقي توګه د دې جملې معادل راځي چې "یو الف-a شته داسې چې الف-a یو فیلسوف دی او الف-a یو عالم نه دی". د موجودیت مقدار ټاکونکی "شته دی" دا نظر څرګندوي چې دا ادعا "الف-a یو فیلسوف دی او الف-a یو عالم نه دی" د الف-a د ځینو انتخابونو لپاره صدق کوي نه د ټولو لپاره.

د "یو فیلسوف دی" او "یو عالم دی" محمولات هر یو یې یو واحد متغیر اخلي. په ټوله کې محمولات کولی شي څو متغیرونه واخلي. د لومړي ترتیب په دې جمله کې "سقراط د افلاطون ښوونکی دی"، دا محمول "د ... ښوونکی دی" دوه متغیرونه لري.

د لومړي ترتیب فورمول تفسیر (یا ماډل) مشخصوي چې د هر محمول یا مسند معنا څه ده، او هغه موجودیتونه چې کولی شي دا متغیرونه مثالونه جوړ کړي. همدا موجودیتونه د بحث ساحه یا عمومیات جوړوي، کوم چې معمولا باید یو غیرخالي سیټ یا مجموعه وي. د مثال په توګه، د بحث له ساحې سره په یوه تفسیر کې چې ټول انسانان پکې شاملېږي، او دا محمول چې "یو فیلسوف" دی چې د "جمهوریت نومي اثر لیکوال و" په توګه درک شوی، دا جمله "یو الف-a شته داسې چې الف-a یو فیلسوف دی" صدق کوونکې یا سمه جمله ګڼل کېږي، لکه څنګه چې د افلاطون نظر دی.^[۶]

سرچينې

↑ Hodgson, Dr. J. P. E., "First Order Logic" Archived 2017-07-18 at the Wayback Machine., Saint Joseph's University, Philadelphia, 1995.
↑ Hughes, G. E., & Cresswell, M. J., A New Introduction to Modal Logic (London: Routledge, 1996), p.161.
↑ Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. Van Nostrand Reinhold. p. 56.
↑ Eric M. Hammer: Semantics for Existential Graphs, Journal of Philosophical Logic, Volume 27, Issue 5 (October 1998), page 489: "Development of first-order logic independently of Frege, anticipating prenex and Skolem normal forms"
↑ Goertzel, B., Geisweiller, N., Coelho, L., Janičić, P., & Pennachin, C., Real-World Reasoning: Toward Scalable, Uncertain Spatiotemporal, Contextual and Causal Inference (Amsterdam & Paris: Atlantis Press, 2011), p. 29.
↑ "Predicate Logic | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (په انګليسي). نه اخيستل شوی 2020-08-20.

[1] Hodgson, Dr. J. P. E., "First Order Logic" Archived 2017-07-18 at the Wayback Machine., Saint Joseph's University, Philadelphia, 1995.

[2] Hughes, G. E., & Cresswell, M. J., A New Introduction to Modal Logic (London: Routledge, 1996), p.161.

[3] Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. Van Nostrand Reinhold. p. 56.

[4] Eric M. Hammer: Semantics for Existential Graphs, Journal of Philosophical Logic, Volume 27, Issue 5 (October 1998), page 489: "Development of first-order logic independently of Frege, anticipating prenex and Skolem normal forms"

[5] Goertzel, B., Geisweiller, N., Coelho, L., Janičić, P., & Pennachin, C., Real-World Reasoning: Toward Scalable, Uncertain Spatiotemporal, Contextual and Causal Inference (Amsterdam & Paris: Atlantis Press, 2011), p. 29.

[6] "Predicate Logic | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (په انګليسي). نه اخيستل شوی 2020-08-20.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]

[۶]