د سيټ نظريه

د ويکيپېډيا، وړیا پوهنغونډ له خوا
و اصلی برخی ته ورشی د پلټنې ځای ته ورټوپ کړی


د سيټ نظريه، د رياضيکي منطق هغه څانګه ده، چې سیټونه څېړي او په غير رسمي ډول د شيانو د مجموعې په توګه تشرېح کېدلی شی. که څه هم هر ډول شيان په يوه سيټ کې جمعه کېدلی شي، مګر د رياضياتو د يوې څانګې په توګه د سيټ نظريه زياتره له هغو شيانو سره سروکار لري، چې په ټوله کې په رياضياتو پورې اړه لري.

د سيټ نظريې معاصره څېړنه، د جرمني رياضيپوه ريچارد ډيډيکېنډ (Richard Dedekind) او جورج کېنټر (Georg Cantor) په واسطه په ۱۸۷۰ز لسيزو کې پيل شوه. جورج کېنټر په ځانګړي ډول د سيټ نظريې د بنسټګر په توګه ګڼل کېږي. د دې ابتدايي پړاو په جريان کې پلټل شوي نارسمي سيستمونه، د ساده سيټ نظريې (naive set theory) ترنامه لاندې پر مخ ځي. د ساده سيټ په نظريه کې د متناقضونو، (لکه: د رسسيل، کېنټر او بورالي فورټي متناقضې ويناوې) له کشف نه وروسته، د شلمې پېړۍ په لومړيو کې بېلابېل محوري سيستمونه وړانديز شول، چې له هغې ډلې د (Zermelo–Fraenkel) د سيټ نظريه (د ټاکنې يا غوراوي د منلي حقيقت په ګډون يا له هغې پرته) تر اوسه په ښه ډول پېژندل شوې او تر ټولو زياته څېړل شوې ده.

د سيټ نظريه، په عام ډول په ټوله کې د رياضياتو لپاره د بنسټيز سيستم په توګه کار کوي، په ځانګړي ډول د زرميلو فراينکېل (رياضيپوه دی) سيټ نظريې په بڼه کې د ټاکنې له منلي حقيقت سره. د بنسټيزې ونډې تر څنګ، د سيټ نظريه د لايتناهي رياضيکي نظريې د پرمختګ په موخه يو کاري چوکاټ هم برابروي او د کمپيوټر په علم (لکه: د اړيکې الجبر په نظريه کې) فلسفه او (formal semantics) کې هم بېلابېل کاريالونه لري. د منلو حقيقتونه، د لايتناهي د مفهوم لپاره د دې نظريې تطبيقاتو او د دې په کاريالونو سره يو ځای د دې نظريې بنسټيزې غوښتنې د سيټ نظريه د منطق پوهانو او رياضياتو د برخې فيلسوفانو لپاره د خوښې يا لېوالتيا يوه پراخه ساحه ګرځولې ده. د سيټ نظريې په اړه معاصره څېړنه، د مقالو يوه پراخه اوډنه يا ترتيب رانغاړي، چې د پراخو اصلي عددونو د ثبات د څېړنې په اړه د حقيقي عدد له ساختمان نه ترتيبېږي. [۱]

تاريخچه[سمول]

رياضيکې موضوعات، په نمونه يي ډول د زياتو څېړنو تر منځ د متقابلو عملونو په واسطه څرګندېږي او تکامل کوي. د سيټ نظريه که څه هم، د جورج کېنټر د يوې څېړنې «د ټولو حقيقي الجبري عددونو د مجموعې په ځانګړنو باندې» په واسطه په ز۱۸۷۴ کې رامنځ ته شوه. [۲][۳]

له ميلاد نه پخوا د پينځمې پېړۍ راهيسې، چې په لويديځ کې د يوناني رياضيپوه (Zeno of Elea) او په ختيځ کې د لومړني هندي رياضيپوهانو په زيار سره پيلېږي؛ رياضيپوهانو د لايتناهي په مفهوم سره هڅه کړې وه. د ۱۹ مې پېړۍ په لومړۍ نيمايي کې د بيرنارد بولزانو (Bernard Bolzano) کار په ځانګړي ډول د يادونې وړ دی. د لايتناهي په اړه معاصره پوهېدنه يا ادراک په ۱۸۷۴ ـ ۱۸۷۰ ز کلونو کې پيل شو او په ريښتيني تحليل (real analysis) کې د کېنټر د کار په واسطه وهڅول شو. د کېنټر او ريچارد ډيډيکېنډ تر منځ د ۱۸۷۲ ز يوې ناستې د کېنټر فکر اغېزمن کړ او د کېڼټر د ۱۸۷۴ زکال څېړنې کې اوج ته ورسېد. [۴][۵]

د کېنتر کار په اساسي ډول د هغې د وخت رياضيپوهان ووېشل (Karl Weierstrass) او (Dedekind) د کېنټر ملاتړ وکړ، مګر ليوپولډ کرونيکر (Leopold Kronecker) چې اوسمهال د (mathematical constructivism) د بنسټګر په توګه ورته کتل کېږي، د کېنټر ملاتړ ونه کړ. د کېنټر سيټ نظريه، بالاخره د کېنټر د مفاهيمو د کارونې له امله پراخه شوه. لکه: د سيټونو تر منځ د (one-to-one correspondence) نظريه، د نوموړي دا ثبوت چې د تامو يا پوره عددونو په پرتله حقيقي عددونه زيات دي او «د ابديتونو (لايتناهي) لايتناهي» يعنې د کېنټر جنت، چې د طاقت سيټ له عمليې نه په لاس راځي.

د سيټ نظريې د حېرانتيا راتلونکې څپه، په نږدې ۱۹۰ز کې راغله، چې په دې وخت کې دا هم کشف شوي و، چې د کېنټري سيټ نظريې ځينو تعبيرونو، ځينو مغايرتونو ته چې (antinomies) اضداد ورته وايي، لوړوالی ورکړ. بېرټرانډ رسسيل (Bertrand Russell) او ايرنسټ زيرميلو (Ernst Zermelo) په خپلواک ډول د تر ټولو ساده او غوره پېژندل شوي مغايرت بنسټ کېښود، چې اوس ورته د رسيل مغايرت هم وايي. د دې مغايرت له مخې: «د ټولو سيټونو سيټ، چې د خپلو ځانونو (سيټونو) غړي نه دي ، يوه مغايرت ته لارښوونه کوي. له همدې مخې، دا بايد د خپل ځان يو غړی وي چې د خپل ځان يو غړی به نه وي. په ۱۸۹۹ کې کېنټر له خپله ځانه وپوښتل: «د ټولو سيټونو د سيټ اصلي عدد څه شی دی؟» او يو اړوند مغايرت يې تر لاسه کړ. رسيل خپل مغايرت د يوې نمونې په توګه د خپل ۱۹۰۳ز براعظمي رياضياتو کتنه کې په خپل (د رياضياتو بنسټونه The Principles of Mathematics) کې وکاروه. د سيټ له اصطلاح نه وروسته، رسيل د ټولګي يا (Class) اصطلاح وکاروله، چې په وروستيو کې په زيات تخنيکي ډول کارېدلې ده.

په ۱۹۰۶ز کې د سيټ اصطلاح، د مېرمن او خاوند (ويليم هنري ينګ William Henry Young او ګرېس چيشولم ينګ Grace Chisholm Young) په کتاب (د پواينټونو يعې ټکو د سيټونو نظريه) کې راښکاره شوه، چې د د کيمبرېج پوهنتون د چاپخونې په واسطه چاپ شوه. [۶]

د سيټ نظريې قوه (momentum) په دې ډول وه، چې په مغايرتونو کې بحث د دې ترک يا پرېښودنې ته زمينه مساعده نه کړه. په ۱۹۰۸ ز کې د زيرميلو (Zermelo) کار او په ۱۹۲۲ ز کې د ابراهم فراينکيل (Abraham Fraenkel) او تورالف سکوليم (Thoralf Skolem) کارونو د منلو حقيقتونو په سيټ اغېزه وکړه، چې د سيټ نظريې لپاره په عام ډول تر ټولو زيات کارول شوی د مغايرتونه سيټ شو. د تحليل ګرانو کار، له هغې ډلې د هنري ليبيسګ (Henri Lebesgue) د سیټ نظريې ستر رياضيکي ګټورتوب په ډاګه کړ، چې د همدې له امله د معاصرو رياضياتو په جوړښت کې ترکيب (اوبدل) شوی دی. د سيټ نظريه په عام ډول د يوه بنسټيز سيستم په توګه کارول کېږي. که څه هم په ځينو برخو، لکه: الجبري، هندسې او (algebraic topology—category theory) کې ورته د ترجېح ورکړل شوي بنسټ په توګه فکر کېږي.

بنسټيز مفاهيم او نښې[سمول]

د سيټ نظريه، د يوه o جنس او A سيټ تر منځ په يوې بنسټيزې جفتي اړيکې سره پيل کېږي. که چېرې o د A سيټ يو غړی (يو عنصر) وي، نو د oA نښه کارول کېږي. يو سیټ د هغې د عناصرو د يوه لېست جوړولو په واسطه ښودل کېږي، چې هر عنصر يې د ي کامې يا د عنصر د ځانګړي خاصيت په واسطه د منځنيو قوسونو {} په داخل کې سره بېل شوی وي. دا چې سيټونه په اصل کې شيان دي، د غړيتوب اړيکه سیټونه هم سره یو ځای کولی شي. [۷]

د دوو سيټونو تر منځ يوه تر لاسه شوې جفتي اړيکه، د فرعي سيټ اړيکه ده، چې د سيټ شموليات هم ورته وايي. که چېرې د A سيټ ټول عناصر د B سيټ عناصر وي، نو A د B يو فرعي سيټ دی او په AB سره ښودل کېږي. د بېلګې په ډول: {1,2} د {1,2,3} يو فرعي سيټ دی او {2} يې هم فرعي سيټ دی، مګر {1,4} يې فرعي سيټ نه دی. لکه څرنګه چې د دې تعريف په واسطه روښانه شو، يو سیټ د خپل ځان فرعي سيټ دی. د هغو حالتونو لپاره چې دا احتمال په کې نامناسب دی يا يې نفې کول منطقي دي؛ د خاص فرعي سيټ (proper subset) اصطلاح پېژندل کېږي. A ته د B خاص فرعي سيټ وايي، که چېرې او يوازې، که چېرې A د B يو فرعي سيټ وي، مګر A له B سره مساوي نه دی. ۱، ۲ او ۳ د {1,2,3} سيټ غړي، يعنې عناصر دي، مګر د هغې فرعي سيټونه نه دي او په همدې ترتيب، فرعي سيټونه، لکه: {1} د {1,2,3} سيټ غړي نه دي. 

سرچینې[سمول]

  1. Kunen 1980، ص. xi: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics may be derived."
  2. Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik (په الماني ژبه کي), 1874 (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 199545885 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  3. Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, د کتاب نړيواله کره شمېره 0-87150-154-6 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  4. Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan (المحرر), Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, د کتاب پاڼې 152, د کتاب نړيواله کره شمېره 3-7728-0466-7 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  5. Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, د کتاب پاڼي 30–54, د کتاب نړيواله کره شمېره 0-674-34871-0 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة).
  6. Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
  7. "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. د لاسرسي‌نېټه ۲۰ اگسټ ۲۰۲۰. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)