تقسيم

د تـــَـــقسيم عمليه (د وېش پېکړنه) Division’s operation

تقسيم (وېش) هاغه عمليې (پېکړنې) ته ويل کيږي چې يو عدد (شمېر يا نومر) په څو بــَــرابــَــرو بــَــرخو ووېشل شي . د مثال (بېلګ) په ډَول ، که چېرې «پنځه لس روپۍ» وي اَو درې کــَــسان (يا درې نــَــفــَــران يا درې وَګــَــړي) وُاُوسي اَو که وغواړو چې «پنځه لس روپۍ» درې نفرانو (کــَــسانو يا وَګړو) ته بــَــرابــَــر وُوېشو ، نو هر نــَــفــَــر (کــَــس يا وَګړي) ته «پنځه روپۍ» رَسيږي .

د تقسيم (وېش) د عمليې (پېکړنې) علامې (نــِــښې) دا دي :

$$\div \qquad :\qquad {\frac {.....}{.....}}\qquad /$$

په وړانديني (مخکيني) مثال (بېلګ) کښې «پنځه لس وېش پر درې» داسې ليکل کيږي :

$$15\div 3=15:3={\frac {15}{3}}=15/3=5$$

Fifteen divided by three is five

پنځه لس وېش پر درې دي پنځه .

په پورتني مثال (بېلګ) کښې «15» ته مــَــقسوم (وېش شــِــوَی divided ) ويل کيږي ، اَو «3» ته مــَــقسوم عــَــلــَــيهِ (وېش پې باندې) يا «قاســِــم» (وېشګــَــر يا divisor) وَيل کيږي ، اَو «5» ته د تــَــقسيم حاصــِــل (د وېش لاستراوړ يا division’s result يا quotient) وَيل کيږي .

که پام وکړو نو تــَــقسيم (وېش) د ضرب (څوپلا) پــِــرعــَــکــْــس (يا اَړَوِل شــِــوې) عمليه (پېکړنه) ده ځکه چې :

$${\frac {15}{3}}=5$$

$$15=3\times 5$$

د صــِــفر (هېڅ) ســـَـــره تــَــقسيمونه (وېشونه) Divisions with zero

مونږ د ضرب (څوپلا) د جــَــدوَل (لــَــښتيليک) په نــَــزد کښې ومو ليدل چې هر عدد (شمېر يا نومر) چې د صــِــفر (هېڅ) ســَــره چې ضــَــرب (څوپلا) شي ، د ضرب حاصل (د څوپلا لاستراوړ) يې صــِــفر (هېڅ) وي . دا ځکه چې ، د مثال په ډَول :

$$8\times 0=0+0+0+0+0+0+0+0=0$$

اَو په ضرب (څوپلا) کښې «د تــَــبديل قانون» (د هــَــماوِښت قانون يا commutation’s law) شته دئ چې وايي چې په ضرب (څوپلا) کښې ، د ضرب د عامــِــلانو (د څوپلاګــَــرانو) ځايونه ســَــره تبديل (هماوِښت) کــَــوِلي شو . يعني چې د مثال (بېلګ) په ډَول :

$$7\times 9=9\times 7$$

نو په همدې ډَول هم ليکلي شو چې :

$$0\times 8=8\times 0=0$$

مونږ دا هم وليدل چې تقسيم (وېش) د ضرب (څوپلا) پــِــرعــَــکــْــس (اَړَوِلې) عمليه (پېکړنه) ده . لکه :

$${\frac {45}{5}}=9\qquad ;\qquad 45=5\times 9$$

يا :

$$45=5\times 9\qquad ;\qquad {\frac {45}{5}}=9$$

يعني چې قاسم (وېشګر) چې د تقسيم حاصل (د وېش لاستراوړ) ســَــره چې ضرب (څوپلا) شي ، نو بېرته مقسوم (وېش شــِــوَی) لاسته راځي . اُوس ليدلي شو چې :

$$0=a\times 0\qquad ;\qquad {\frac {0}{a}}=0\qquad ;\qquad a\neq 0$$

يعني چې که صــِــفر (هېڅ) روپۍ يا هېڅ روپۍ ولرو اَو دا «هېڅ» په څو کــَــسانو بــَــرابــَــر ووېشو ، نو هــَــر کــَــس ته هېڅ (يا «هېڅ») يا «صــِــفر» رَسيږي . 

دا بايد چې په ياد کښې وُساتو چې : «د صــِــفر (هېڅ) تقسيم (وېش) پر هر ناصــِــفر عدد (يا پر هر ناهېڅ) کيږي صــِــفر (هېڅ)» .

“zero” divided by “nonzero” is zero

اَو اُوس دا هم بايد چې په ياد کښې وُساتو چې :

$$a\neq 0\qquad ;\qquad {\frac {a}{0}}=impossible$$

يعني چې «غيرِصــِــفر (ناهېڅ) تقسيم (وېش) پر صفر (هېڅ) ناممکن (ناشونی) دئ» .

دا ځکه چې که وُاَنګېرو چې :

$$a\neq 0\qquad ;\qquad {\frac {a}{0}}=?$$

نو بايد چې د «قاسم» (وېشګر) اَو د «تقسيم د حاصل» (د وېش د لاستراوړ) يو بــِــل ســَــره ضرب (څوپلا) کــَــوِل بېرته «ناصــِــفــر» (ناهېڅ) مونږ ته راکړي .

دلته «قاسم» (وېشګر) «صفر» (هېڅ) دئ ، اَو «د تقسيم حاصل (د وېش لاستراوړ)» کوم اَنګېرِلی عدد (کوم اَنګېرِلی شمېر) دئ ، نو ليکلي شو چې :

$${\frac {a}{0}}=?\qquad ;\qquad a=0\times ?=0\qquad ;\qquad a\neq 0$$ 

په پورته منځينۍ ليکنې کښې د راسته (ښۍ) خواته «صفر» (هېڅ) ليکل شوی ځکه چې پوهېږو چې همېشه اَو تـــِـــل «صفر (هېڅ) پلا کوم اَنګېرِلی عدد (شمېر يا نومر) دي صفر (هېڅ)» ، مګر د سوچ څخه پوهېږو چې «$a$» چې غيرصفر (ناهېڅ) مو نيولی وو هېڅ وَقت د «صفر» (هېڅ) ســَــره بــَــرابــَــر يا مــُــساوي کېدی نه شي ، نو دلته تــَــناقــُــض (ضــِــدوَيون) رامنځته کيږي چې په سوچ کښې جوړ نه راځي ، که «غیرصــِــفر» (ناهېڅ) د «صــِـفر» (هېڅ) ســَــره برابر ونيسو ، ځکه نو وَيلي شو اَو بايد چې دا هم په ياد کښې وُساتو چې :

«هر ناصفر عدد (ناهېڅ) چې تقسيم (وېش) پر صفر (هېڅ) شي ، د تقسيم حاصل (د وېش لاستراوړ) يې ناشونــَــی يا نامــُــمکــِــن وي» .

nonzero divided by zero is impossible

د ليميت (حــَــد يا پوله يا limit) په لوَستونو کښې وروسته ليدِلي شو ، چې که چېرې يو عدد (شمېر يا نومر) ډېر صــِــفر (هېڅ) ته نږدې وي ، يعني چې په خپله صفر (هېڅ) نه وي ، مګر ډېر يو ووړ عدد (شمېر يا نومر) وي ، بيا نو تقسيم (وېش) په داسې يو ډېر ووړ عدد (شمېر يا نومر) ، کوم ډېر لوي عدد (شمېر یا نومر) د تقسيم د حاصل (د وېش د لاستراوړ) په ډَول وَرکــَــوي ، چې د مثال (بېلګ) په ډَول ، داسې ليکل کيږي :

$$\lim _{n\to \ 0}={\frac {7}{n}}=\infty$$ 

دې علامې (نښې) ته : $\infty$ ، په رياضي (څوپوهن) کښې «لايــَــتــَــناهي» («نافــَــرجامتيا» يا «نااَنجامتيا» يا «ناوروستـيـنـتـيـا» يا «ناپايلينتيا» يا infinity) وَیل کيږي . مګر دا د ليميت (حد يا پولې) خــَــبــَــرې ، لا هم ، د حساب (شمېرن) په ړومبي برخو کښې نه لوَستل کيږي .

اَو اُوس دا هم باید چې وليدلي شو چې :

$${\frac {0}{0}}=indeterminate$$indeterminate يعني (منځآند کوي) چې «نامــُــعــَــيــَّــن» يا «ناټاکــِــلــَــی» .

بيا هم ځکه چې :

$$0\times indeterminate=0$$

اَو «هر عدد (شمېر يا نومر) ضرب (څوپلا) د صفر (هېڅ) دي صفر (هېڅ)» اَو مونږ لا نه پوهېږو چې نو کوم عدد (شمېر يا نومر) هالته په «صفر (هېڅ) تقسيم (وېش) پر صفر (هېڅ)» کښې وټاکو ، ځکه نو دا هم بايد چې په ياد کښې وُساتو چې :

«صــِــفر (هېڅ) تقسيم (وېش) پر صفر (هېڅ) ، حاصل (لاستراوړ) يې کوم نامــُــعــَــيــَّــن (ناټاکــِــلــَـــی) عدد (شمېر يا نومر) وي» .

zero divided by zero is indeterminate

مګر که په ساده ډَول سوچ وشي نو صفر (هېڅ) چې پر صفر نفر (هېڅ کــَــس) تقسيم شي ، نو د تقسيم (وېش) حاصل (لاستراوړ) يې هم صفر (هېڅ) به وي . مګر هاغه اَصلاً صفر (هېڅ) چې پر يو نفر (کــَــس) يا پر ډېرترو کـــَـــسانو چې تقسيم (وېش) شي نو د تقسيم (وېش) حاصل (لاستراوړ) يې بېرته هماغه صفر (هېڅ) وي ، اَو مونږ وړاندې وموليدل چې تقسيم (وېش) پر صفر (هېڅ) ستونزمن دئ اَو د ناصفر (ناهېڅ) تقسيم (وېش) پر صفر (هېڅ) ناممکن (ناشونی) وي . مګر صفر (هېڅ) تقسيم (وېش) پر صفر (هېڅ) کوم نامــُــعــَــيــَّــن (ناټاکلی) عدد (شمېر يا نومر) وي چې کېدی شي چې صفر (هېڅ) وي يا کوم بــِــل ناټاکلی عدد (شمېر يا نومر) .